تلعب المتتابعات والمتسلسلات دورًا هامًا في علم الرياضيات، حيث يتم استخدامها لفهم الأنماط وتوقع السلوك الرياضي للكثير من الظواهر الهندسية والعددية، تنشأ المتتابعات من ترتيب منظم من الأعداد، بينما المتسلسلات فإنها إجمالي عدد حدود هذه المتتابعات، ولكل منهما تطبيقات كثيرة في الاقتصاد والفيزياء والهندسة وغير ذلك.
المتتابعات والمتسلسلات
- المتتابعة هي مجموعة مرتبة من الأعداد بحيث يمكن معرفة كل حد فيها حسب قاعدة محددة، وغالبًا تُرمز بالرمز a1، a2، a3، بحيث يشير كل رمز منهم إلى الحد بالموضع المقابل.
- تُعرف المتسلسلة بأنها نتيجة جمع حدود متتابعة ما، فإن كانت لدينا المتتابعة 2، 4، 6، 8 فإن المتسلسلة المقابلة هي 20 “مجموع الأرقام السابقة”.
- تٌكتب المتسلسلة بشكل رمزي باستخدام صيغة المجموع (∑) أو إشارات الجمع.
- تُستخدم في حساب القيم النهائية مثل مجموع الأرباح السنوية، أو تحليل نماذج التغير والنمو في مختلف المجالات العلمية.
- تختلف قواعد بناء المتتابعة حسب نوعها: هندسية، حسابية، أو غير ذلك، وكل نوع لديه خصائصه الفريدة التي تؤثر على كيفية التعامل معه.
اقرأ أيضًا: ما هو قانون معامل الصعوبة؟
أنواع المتتابعات
- المتتابعة الحسابية: هي التي يزيد فيها كل حد عن الذي يسبقه بمقدار ثابت يٌسمى الفرق المشترك، مثل 3، 6، 9، 12، والفرق هو 3.
- المتتابعة الهندسية: كل حد فيها نتيجة ضرب الحد السابق في عدد ثابت يُعرف باسم “الأساس”، مثل 2، 4، 8، 16، والأساس هو 2.
- المتتابعة الغير منتظمة: ليس لها قاعدة ثابتة، وغالبًا تٌستخدم في تمثل البيانات الغير قابلة للتمثيل الخطي مثل البيانات العشوائية والإحصائية.
- المتتابعات التزايدية والتناقصية: وهي المتتابعات التي تتناقص أو تزداد قيم حدودها بالتدريج وفق نمط محدد، سواء كانت هندسية أو حسابية.
كتابة الحدود الأولى للمتتابعات
- لكي نتمكن من كتابة الحدود الأولى لأي متتابعة، يجب أولًا معرفة القاعدة التي تحكم توليد كل حد، سواء كانت ضربًا أو جمعًا أو نمط خاص.
- على سبيل المثال، في متتابعة حسابية تبدأ بالرقم 5 وتزيد بمقدار 4، فإن الحدود الأولى تكون 5، 9، 13، 17.
- بينما في متتابعة هندسية تبدأ بالرقم 3 وتتضاعف كل مرة، تكون الحدود الأولى 3، 6، 12، 24، 48.
- تٌستخدم رموز مثل a1 للحد الأول، بينما a(n) للحد رقم “ن”، وتٌكتب القاعدة باستخدام صيغة رياضية.
اقرأ أيضًا: ما هو قانون التسارع
تعتبر المتتابعات والمتسلسلات أدوات أساسية في تحليل العلاقات والأنماط العددية، وتتعدد أنواعها لتلائم شتى الاستخدامات العلمية، ويمكن كتابة الحدود الأولى بدقة من خلال فهم القاعدة التي تحكم المتتابعة.